Por fin estoy un paso de más cerca de terminar la carrera. Ayer por fin recibí la nota de mi último examen, electromagnetismo, con más nervios que otra cosa y estaba aprobado. Por fin. El día en que apruebas todas las asignaturas lo ves más lejos conforme avanzas los estudios, pero al final llega y sabe a gloria. Ahora, lo peor, puesto que es una ingeniería he de hacer un maldito Proyecto Fin de Carrera. ¡Qué envidia me han dado todos mis amigos que hacían sus últimos exámenes y ya se licenciaban/diplomaban! Como ya lo tengo encaminado y pensado a ver si me vuelvo a tope y lo entrego en noviembre. Esperemos que a finales de ese mes pueda abrir el post diciendo que ya soy Ingeniero Técnico.
El Problema de la Mezcla de Cartas
El verano trae consigo irremediablemente jugar a las cartas más a menudo que de costumbre. Bien sean las noches sentados en el césped, como los descansos del estudio en la biblioteca para el café.
Y si hay algo común a todos los juegos de cartas es barajarlas para poder repartirlas de la forma más aleatoria posible. Me gusta hacer la clásica mezcla que hacen croupiers y magos, tomando dos mitades y dejando caer las cartas intercaladas. A falta de un nombre mejor, la denominaba Mezcla Americana, pero Googleando un poco, parece ser que le llaman Riffle Shuffle.
Un día pensé ¿Y si se hace la mezcla perfecta? Imaginemos que tenemos un dominio tal de la baraja que somos capaces de partir exactamente por la mitad y luego soltarlas una a una, quedando perfectamente intercaladas, una de cada mazo. Entonces me planteé qué ocurriría si se repetía ese proceso varias veces ¿Se volvería a la posición inicial? Y de ser así ¿En cuántas veces?
Quiero que quede claro ya desde aquí que no es una cuestión estadística. No estamos haciendo una mezcla normal, en la que las cartas quedan de forma aleatoria cada vez, sino una totalmente definida y que está claro que siempre será igual. Lo digo ya porque mucha gente a la que se lo he planteado fue la respuesta que me dieron al principio, y es evidente que aquí la probabilidad está fuera de lugar.
Al principio no pasó de un simple pensamiento veraniego, pero dos o tres días después lo recordé estando con mis amigos en un bar y les comenté el problema, así que tras pensarlo un poco empezamos a escribir en una servilleta cómo iba evolucionando el conjunto de cartas. Lo hicimos muy resumido, sólo las primeras y últimas cartas de cada mitad, con puntos suspensivos por en medio, para tratar de imaginar cómo se iba comportando. En que llegamos a la tercera iteración nos dimos cuenta de que era una tarea tediosa y puramente mecánica, así que decidí hacer un programa al día siguiente que lo ejecutase.
La tarde posterior programé lo necesario para hacer las iteraciones, y 56 líneas después empecé a probar resultados. El problema no hubiera pasado de ahí, de no ser porque las soluciones se escapaban de lo predecible. ¿Quién iba a pensar que las veces que hay que barajar no aumentan con el número de cartas? ¿Cómo iba a imaginar que con 40 naipes hacen falta 12 mezclas y con 64 solo 6? Cuantos más conjuntos de cartas probaba, más sorprendido me quedaba.
Así que fui envenenando a diferentes amigos con el problema, picando la curiosidad de todos, hasta que me descubrí buscando las ecuaciones que definen el problema. Desgraciadamente sólo uno se lo está «tomando en serio» y nos estamos quedando sin ideas. Necesitamos un soplo de aire fresco de alguien con nuevas ideas, pues las que teníamos las hemos explotado bastante.
Yo conseguí una ecuación recursiva definida en dos trozos que explicaba a dónde iba la carta, y que aplicándola iterativamente hasta que la posición volvía a ser la original, daba el número de mezclas. Él, matemático, lo analizó como una matriz, aplicando transformaciones y obteniendo la solución como la matriz unidad, con vectores propios y diagonalización. Yo ahora estoy empezando con grafos y me he dado cuenta de que me equivoqué en una premisa inicial, por lo que la fórmula que tenía no es esencialmente correcta. Ahora pongo algunos conjuntos de ejemplo, por si a alguien no le ha quedado claro cómo se mezcla.
Conjunto de 8 cartas. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
Vuelta número 1
Primera mitad: [1, 2, 3, 4]
Segunda mitad: [5, 6, 7, 8]
Mazo mezclado: [1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 8]Vuelta número 2
Primera mitad: [1, 5, 2, 6]
Segunda mitad: [3, 7, 4, 8]
Mazo mezclado: [1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8]Vuelta número 3
Primera mitad: [1, 3, 5, 7]
Segunda mitad: [2, 4, 6, 8]
Mazo mezclado: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
Así se puede ver como, para 8 cartas, con mezlcar 3 veces, volvemos a la posición de partida.
Copio, ahora, la solución para 52 naipes, la baraja francesa.
Conjunto de 52 cartas.
Vuelta número 1
Primera mitad: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26]
Segunda mitad: [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52]
Mazo mezclado: [1, 27, 2, 28, 3, 29, 4, 30, 5, 31, 6, 32, 7, 33, 8, 34, 9, 35, 10, 36, 11, 37, 12, 38, 13, 39, 14, 40, 15, 41, 16, 42, 17, 43, 18, 44, 19, 45, 20, 46, 21, 47, 22, 48, 23, 49, 24, 50, 25, 51, 26, 52]Vuelta número 2
Primera mitad: [1, 27, 2, 28, 3, 29, 4, 30, 5, 31, 6, 32, 7, 33, 8, 34, 9, 35, 10, 36, 11, 37, 12, 38, 13, 39]
Segunda mitad: [14, 40, 15, 41, 16, 42, 17, 43, 18, 44, 19, 45, 20, 46, 21, 47, 22, 48, 23, 49, 24, 50, 25, 51, 26, 52]
Mazo mezclado: [1, 14, 27, 40, 2, 15, 28, 41, 3, 16, 29, 42, 4, 17, 30, 43, 5, 18, 31, 44, 6, 19, 32, 45, 7, 20, 33, 46, 8, 21, 34, 47, 9, 22, 35, 48, 10, 23, 36, 49, 11, 24, 37, 50, 12, 25, 38, 51, 13, 26, 39, 52]Vuelta número 3
Primera mitad: [1, 14, 27, 40, 2, 15, 28, 41, 3, 16, 29, 42, 4, 17, 30, 43, 5, 18, 31, 44, 6, 19, 32, 45, 7, 20]
Segunda mitad: [33, 46, 8, 21, 34, 47, 9, 22, 35, 48, 10, 23, 36, 49, 11, 24, 37, 50, 12, 25, 38, 51, 13, 26, 39, 52]
Mazo mezclado: [1, 33, 14, 46, 27, 8, 40, 21, 2, 34, 15, 47, 28, 9, 41, 22, 3, 35, 16, 48, 29, 10, 42, 23, 4, 36, 17, 49, 30, 11, 43, 24, 5, 37, 18, 50, 31, 12, 44, 25, 6, 38, 19, 51, 32, 13, 45, 26, 7, 39, 20, 52]Vuelta número 4
Primera mitad: [1, 33, 14, 46, 27, 8, 40, 21, 2, 34, 15, 47, 28, 9, 41, 22, 3, 35, 16, 48, 29, 10, 42, 23, 4, 36]
Segunda mitad: [17, 49, 30, 11, 43, 24, 5, 37, 18, 50, 31, 12, 44, 25, 6, 38, 19, 51, 32, 13, 45, 26, 7, 39, 20, 52]
Mazo mezclado: [1, 17, 33, 49, 14, 30, 46, 11, 27, 43, 8, 24, 40, 5, 21, 37, 2, 18, 34, 50, 15, 31, 47, 12, 28, 44, 9, 25, 41, 6, 22, 38, 3, 19, 35, 51, 16, 32, 48, 13, 29, 45, 10, 26, 42, 7, 23, 39, 4, 20, 36, 52]Vuelta número 5
Primera mitad: [1, 17, 33, 49, 14, 30, 46, 11, 27, 43, 8, 24, 40, 5, 21, 37, 2, 18, 34, 50, 15, 31, 47, 12, 28, 44]
Segunda mitad: [9, 25, 41, 6, 22, 38, 3, 19, 35, 51, 16, 32, 48, 13, 29, 45, 10, 26, 42, 7, 23, 39, 4, 20, 36, 52]
Mazo mezclado: [1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 6, 14, 22, 30, 38, 46, 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 5, 13, 21, 29, 37, 45, 2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52]Vuelta número 6
Primera mitad: [1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 6, 14, 22, 30, 38, 46, 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 8, 16, 24, 32, 40, 48]
Segunda mitad: [5, 13, 21, 29, 37, 45, 2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52]
Mazo mezclado: [1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52]Vuelta número 7
Primera mitad: [1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50]
Segunda mitad: [3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52]
Mazo mezclado: [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52]Vuelta número 8
Primera mitad: [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51]
Segunda mitad: [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52]
Mazo mezclado: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52]
De todas las personas con las que he hablado, ninguno había escuchado jamás este problema, así que si ya existe formulado como tal, quizás no sea muy famoso. Aunque este blog no lo lee mucha gente espero que alguien se anime, o se lo contéis a alguien que pueda interesarle, a mí por lo menos me tiene atrapado.
Dentro de un par de semanas o así publicaré todo lo que hemos averiguado hasta ahora, que tampoco es mucho, pero tenemos el problema más o menos cogido por algunos puntos.
Asumo que todos tenéis la máquina Java instalada en vuestro ordenador. Para utilizar el programa que hice tenéis que ir al Símbolo del Sistema (Inicio > ejecutar > cmd > Aceptar), acudir a la carpeta donde lo hayáis descargado y escribir, respetando las mayúsculas javac Mezcla.java con lo que lo compilaréis. Luego, cada vez que queráis ejecutarlo, basta con poner java Mezcla N siendo N=»Número par de cartas a mezclar«. Por ahora suponemos una baraja que se pueda dividir en dos mitades iguales, por lo que ha de ser múltiplo de dos. Si estáis bajo un sistema GNU/Linux (imagino que cualquiera basado UNIX también) podéis redirigir la salida estándar a un fichero de texto, para guardar los datos que saca haciendo:
java Mezcla N >> mezclaN.txt
Sistema Tierra-Luna
Genial el último artículo de El Tamiz en el que Pedro explica diversas peculiaridades de la Luna.
Para empezar, resulta increible que en el siglo V antes de Cristo Anaxágoras dedujera que el Sol es una esfera incandescente y la Luna una esfera rocosa que refleja los rayos del Sol, y cuyas «sobras» son debidas a la interposición de la Tierra, también esférica, entre medio. Pese a que podamos pensar a menudo en lo avanzados que estaban los griegos y lo mucho que sabían, estas declaraciones supusieron que fuese acusado de impiedad, exiliandose de Atenas. Y, además, hay que recordar que entonces no se poseían telescopios.
También habla sobre los primeros cartógrafos de nuestro satélite, haciendo especial mención al mapa dibujado por Johannes Hevelius en su Selenographia (1647), que no puedo evitarsubir aquí. Según la Wikipedia tardó cuatro años en elaborarlo.
Para finalizar, explica con todo detalle por qué vemos siempre la misma cara (aproximadamente) de la Luna, por qué se aleja 3,8 centímetros al año, y cómo influye todo esto en ella y en la Tierra. Parece mentira que, pese a ser un satélite a nuestro alrededor pueda influir tanto en el comportamiento de nuestro planeta.
Y todo esto, conclusiones con lo que podemos ver desde aquí, todo lo que se sabía antes de que la pisáramos; la información de después parece que la deja para otra historia más adelante. Os invito a que disfrutéis aprendiendo un poco más sobre nuestro gran satélite en su artículo original.
Síndrome post-vacacional
La patologización de la vida cotidiana ha provocado que socialmente se considere «enfermedades» a numerosos contratiempos del día a día, aseguran. Como sucede con el llamado síndrome posvacacional.
Es un agravio comparativo considerar las pocas ganas de volver a trabajar como síndrome o depresión posvacacional. La depresión es una enfermedad de mucha entidad, con un alto nivel de suicidios», opina Enric Álvarez, jefe del Servicio de Psiquiatría del Hospital de Sant Pau de Barcelona. «Es evidente que cuando te lo has pasado bien cuesta volver a trabajar y estar triste por ello no tiene nada que ver con estar deprimido», añade.
A destacar del artículo, especialmente, la negrita. El resto, es lo evidente que piensa cualquier persona sensata cuando le hablan de tal síntoma. Pero la idea de que se exageran algunas situaciones cotidianas hasta convertir en enfermedad la leve dificultad de superarlas me parece un importante punto sobre el que reflexionar.
En Barrapunto, resumían la noticia con la genial frase:
la patologización de la vida cotidiana ha provocado que socialmente se considere «enfermedades» a numerosos contratiempos del día a día, lo que crea ciudadanos infantilizados, que no se asumen los reveses de la vida.
El arte de la lógica
Al finales de curso, los fines de semana que volvía a casa, iba a la biblioteca pública de Huesca a estudiar —al igual que en verano, navidades y esas fechas preexámenes—. Siempre miro la sección de novedades que cambia constantemente, y descubrí un libro con el título de la entrada, de Carmen García Trevijano. Me pareció interesante así que le eché un vistazo, que me convenció para sacarlo. Ya ha pasado un tiempo desde que lo leí, pero tomé un par de notas para escribir aquí la reseña, así que no dejaré que se me olvide del todo.
Para empezar he de decir que yo no había tenido más contacto con la lógica que la booleana de la que hacemos gran uso los informáticos —y electrónicos— vista en un par de asignaturas (Sistemas Lógicos y Electrónica Digital), y un poco de borrosa en Autómatas. Se supone que formaba parte del temario de Filosofía en 1º de Bachillerato, pero el profesor que tuvimos prefirió enseñarnos a pensar y leer en lugar de limitarse al libro «oficial».
Tener unos conocimientos básicos de lógica me parecía importante no sólo como informático, sino también como persona racional; y éste libro me ha parecido ideal para aprender desde cero. El libro empieza con la simbología para pasar al Análisis de argumentos y la lógica de predicados, cerrando con un artículo de Louis Couturat, Argumentación silogística; y dos de Stuart Mill, Síntesis lógica tradicional y Cuatro métodos de indagación experimental.
Una de las curiosidades que más me llamó la atención fue de la que se percató Duns Scoto sobre una propiedad de las disyuntivas que afirma que: «Es formalmente correcto inferirla unión disyuntiva de una proposición con cualquier otra que se nos antoje». Con lo cual:
«Si contamos con una disyunción y, por otro lado, con la contradictoria de una de sus partes, es formalmente correcto concluir afirmando la parte que resta de esa disyunción.»
Esto se ejemplifica con la frase: «Sócrates corre y no corre, luego tú estás en Roma».
Que formalmente se representa, para A=»Sócrates corre» y B=»Tú estás en Roma», así:
1:
2: 
3: 
4: 
5: 
\vdash%20B)
Todo esto entre paréntesis son las reglas y tautologías que se aplican en la Lógica formal para realizar el razonamiento a partir de unas premisas. Si tenéis interés en conocerlas, en ésta página las he recordado y está muy bien explicado. Os la recomiendo si queréis un buen punto con el que comenzar o recordar conceptos olvidados.
De este modo hemos demostrado que si Sócrates corre (A) y Sócrates no corre (no A), es cierto que Tú estás en Roma (B). Obviamente es una conclusión absurda, pero es un ejemplo de a lo que se puede llegar partiendo de premisas falsas, todo sin violar las leyes de la lógica.
(Maldita sea, creo que tendré que poner el filtro 
También, a raíz de la paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón se sirve para hablar sobre el infinito y diversas soluciones a la misma que se han dado a lo largo de la historia. Os recuerdo que es la de que Aquiles, el mejor corredor de Grecia, jamás podrá alcanzar a una tortuga moviéndose delante de él puesto que ha de recorrer la mitad del camino, y luego la mitad de la mitad y la mitad de lo restante, y… por lo que siempre habrá espacio entre él y la tortuga por más rápido que vaya; y nunca la alcanzará.
Es obvio que no ocurre así, y a muchos matemáticos y filósofos se han devanados los sesos para explicar formalmente porqué. Matemáticamente se puede modelar como la infinita suma de la mitad, y la mitad de la mitad…
Con los conocimientos actuales sobre series y sucesiones sabemos que ésta es convergente y tiende a 1, lo cual significa que la infinita suma de mitades de algo da ese algo, de modo que Aquiles sí que termina por recorrer la distancia inicial.
Otra explicación, a mi juicio muy buena, que dió el filósofo británico Thomas Hobbes en su obra De Corpore fue:
«Dividir infinitas partes no es sino ser dividido en tantas partes como se desee. Pero no es necesario que una línea tenga infinitas partes, ni que sea infinita, porque puedo subdividirla tanto como quiera, y por muchas partes que haga, su número será finito.»
Otra reflexión sobre el concepto de infinito es que antes se creía que un conjunto infinito tenía que tener al menos uno de ambos extremos abiertos, imposibilitando así que tuviera un primer y últimos elementos. Sin embargo, podemos ver que no es así con los reales comprendidos en, por ejemplo, el intervalo [1, 2], los cuales son infinitos pero, obviamente, tiene un principio y un final.
Un libro en fin, interesante, que toca varios temas, y que me gustó y me hizo aprender un poco sobre la formalización de la lógica. Lo recomiendo sólo para quién esté realmente interesado. Además, al final de cada capítulo incluye una extensa lista de problemas con sus soluciones para practicar en el tema.
Sobre la autora, decir que Carmen García Trevijano aparte de escribir sus propias obras, se dedica principalmente a la traducción del inglés, francés y alemán al español, contando en sus trabajos con autores como David Hume, Karl Popper, Arthur Schopenhauer o Bertrand Russell entre otros.
Como casualidad, empecé a escribir esto hace dos días, y justo ayer apareció en el recién estrenado El Cedazo una Introducción a la lógica.Que continúa hoy con una explicación a los axiomas de Peano para la construcción de Los números naturales. El Cedazo es un blog comunitario creado por Pedro, de El Tamiz —genial blog sobre cienca que creo que aún no había recomendado por aquí pese a seguirlo ya hace unos meses—, con la idea de que sean los propios lectores los que envíen sus artículos explicando temas de su especialidad que quizás escapan un poco de la temática de El Tamiz, pero con la misma filosofía de tratar de explicar ciencia sin fórmulas y para que cualquiera, como yo, pueda entenderla. Recomiendo ambos. Además, El Cedazo parece haber tenido un gran éxito inicial, pues en sus seis primeros días ya lleva ocho artículos.
Planificador financiero
De verdad, hay días que Scott Adams me encanta con su tira. Dogbert me parece un personaje tremendo.
Como ya dije en el último post, ahora leo los Dilbert cada dos o tres semanas, de seguido, y otro que me ha encantado de esta tanda, es éste, especialmente la frase final también de Dogbert; creo que me la voy a apuntar para mi día a día.
Espiritismo
- Desde un punto de vista intelectual, las almas de los muertos entran en una condición que, si hemos de juzgar por las producciones que consignan en las pizarras de los médiums, debe ser calificada de muy lamentable. Estas escrituras pertenecen por completo a la categoría de la imbecilidad; carecen de todo contenido.
- Lo más favorecido, por lo visto, es la condición moral del alma. De acuerdo con el testimonio que poseemos, de su carácter sólo puede decirse que es inofensivo. Los espíritus, de la manera más educada, se abstienen de comportamientos bárbaros, tales, por ejemplo, como destruir los doseles de las camas.
- Desde un punto de vista físico, las almas de los muertos caen bajo servidumbre de algunos seres vivos que se llaman médiums. Estos médiums constituyen, al menos hasta el presente, una clase no demasiado extendida y parecen ser casi exclusivamente norteamericanos. Bajo sus órdenes, las almas de los difuntos realizan hazañas mecánicas que poseen en todo respecto el carácter de la más absoluta inutilidad. Dan golpes, levantan mesas y sillas, mueven camas, tocan la armónica y hacen otras cosas similares.
Wilhelm Wund, Espiritismo, una cuestión llamada científica, 1889.
Aparece como nota del autor en el libro La cuarta dimensión, de Rudy Rucker, que me estoy leyendo ahora. Parece ser que a finales del siglo XIX se puso muy de moda la idea de que los fantasmas pudiesen ser seres del hiperespacio. Me ha gustado esta pequeña crítica a los médiums.
Más Dilbert y reflexión al fin de año
No sé cuánto tiempo llevaba sin leer a Dilbert, pero me he perdido bastantes. No obstante, hoy tenemos la mañana muy tranquila, así que he tenido tiempo de leer los de último mes en español —desgraciadamente no linkan anteriores— y ha habido tres que necesito compartir.
La última me gusta especialmente porque para la última Nochevieja estuve tratando de hacer ver a mis amigos eso mismo, restándole importancia a la celebración, puesto que podría ser cualquier día. De hecho, la fecha viene porque el 1 de enero es la fecha en que los nuevos cónsules asumían el gobierno, de modo que Julio César modificó el calendario (juliano) para que empezase ese día —así podían planear las campañas militares con más tiempo—. Luego, con el paso al gregoriano se mantuvo la fecha.
Por eso, el fin de año, a diferencia de los solsticios o los equinoccios, es una fecha totalmente arbitraria a la que no le veo mucha lógica.
Podría replicarse que también un cumpleaños o un santo lo son, pero ellos sólo pueden ser ese día concreto, y sin embargo el año podría terminar en cualquier otra fecha, puesto que al ser una órbita cerrada, no empieza ni acaba realmente en ningún punto.
Pensaba que sería más lógico establecer el inicio en alguna fecha concreta, quizás el perihelio o el afelio, o los propios solsticios y equinoccios; que, si bien seguiría siendo una fecha totalmente arbitraria, se correspondería realmente con algún punto concreto de la órbita terrestre alrededor del Sol y sería un poco más coherente.
No obstante, buscando por la fecha del perihelio he observado que cae el 4 de enero, por lo que es bastante aproximado al 1 de enero que tenemos como inicio del año.
Resulta interesante esta coincidencia y creo que debemos volver a los romanos —o antes— para saber por qué escogieron dicha fecha para que los cónsules asumiesen el cargo. Veo muy posible que ese día se tomase por el perihelio, o debido a alguna celebración en cuyo origen está el mismo. He de recordar que ya los griegos con el gnomon dedujeron muchas fechas relativas a la posición terrestre. Supongo que con las diferentes reformas de calendario se haya desviado esta fecha de la que debía de ser su origen.